Un sistema de numeració és un conjunt de símbols i normes a través dels quals es poden expressar tots els números vàlids dins d’aquest sistema. Per exemple, el sistema decimal, que és el que estem acostumats a utilitzar tots diàriament, utilitza com a base el número 10 i està format per 10 números diferents amb els quals pot representar tota la resta de números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9. Es tracta d’un sistema posicional i, per tant, el valor de cada número varia en funció de la posició que ocupa (unitats, desenes, centenes, etc.).
El sistema binari, popularment conegut perquè és el sistema que utilitzen els ordinadors i la resta de dispositius electrònics, és un sistema de base 2. Això vol dir que és un sistema que només utilitza dues xifres per representar tots els seus números i en el cas del codi binari aquestes dues xifres són 0 i 1. Els ordinadors utilitzen el sistema binari perquè només treballen amb dos nivells de voltatge: apagat o sense presència de càrrega elèctrica (0) i encès o amb presència de càrrega elèctrica (1).
Existeixen altres sistemes de numeració amb diferents utilitats, com el sistema octal (de base 8) i el sistema hexadecimal (de base 16), tots dos utilitzats també dins del món de la informàtica, o el sistema sexagesimal (de base 60), que és un altre sistema de numeració que utilitzem diàriament per mesurar el temps (una hora equival a 60 minuts i cada minut equival a 60 segons).
Orígens del sistema binari
Les primeres descripcions d’un sistema de numeració binari s’atribueixen a un antic matemàtic indi anomenat Pingala i daten del segle III a. C. Les primeres representacions de números binaris es troben en obres clàssiques d’origen xinès, concretament dins l’obra filosòfica “I Ching”, que data entre els anys 1200 i 100 a. C.
Al llarg dels segles següents, trobem documentació tant sobre altres matemàtics i com sobre altres tipus de pensadors que exposen idees relacionades amb el sistema binari. Per exemple, Sir Francis Bacon va crear el Codi Bacon a inicis del segle XVII, un codi criptogràfic basat en el sistema binari que utilitzava les lletres A i B agrupades en combinacions de cinc lletres per encriptar missatges.
Pel que fa al sistema binari modern, la base matemàtica del sistema binari tal com el coneixem va ser documentada per primera vegada el segle XVII pel matemàtic alemany Gottfried Wilhelm Leibniz. L’any 1703, Leibniz va publicar l’article “Explication de l’Arithmétique Binaire”, on explicava com es podien representar els números utilitzant les xifres 0 i 1. En aquell moment, els seus estudis i la seva explicació no responien a cap objectiu en concret, però amb l’arribada dels primers ordinadors a inicis del segle XX, gairebé 300 anys després, es va poder observar com tot allò que havia explicat Leibniz al seu article era aplicat pels primers programadors informàtics.
Entre aquests dos moments tan separats en el temps, també és important destacar les aportacions del matemàtic britànic George Boole, que l’any 1854 va publicar un article on detallava un sistema de lògica, anomenat Àlgebra de Boole, que partia de la teoria del sistema binari i que va ser clau per al desenvolupament dels circuits electrònics.
Conversió de números d’un sistema a un altre
És possible convertir un número d’un sistema numèric a un altre, per exemple de sistema binari a sistema decimal o a l’inrevés. En el primer cas, cal descompondre en factors el número binari, de base 2, i posteriorment el podrem convertir a un número equivalent del sistema decimal. Si tenim el número binari 10111101 i el volem convertir en un número decimal, primer n’hem de fer la descomposició en factors utilitzant el número 2 i elevant-lo a la potència que li correspon a cada dígit segons la posició que ocupa dins de la sèrie de números. Com a exponents, utilitzaríem el 0, 1, 2, 3… fins a arribar al 7, i començarem a fer la descomposició en factors seguint l’ordre d’esquerra a dreta i començant per l’exponent més gran. Finalment en farem la suma i trobarem el número decimal equivalent, que en aquest cas és 189:
10111101 = (1·27) + (0·26) + (1·25) + (1·24) + (1·23) + (1·22) + (0·21) + (1·20)
10111101 = (128) + (0) + (32) + (16) + (8) + (4) + (0) + (1)
10111101 = 189
Per convertir un número enter del sistema decimal i trobar el seu equivalent en sistema binari, cal utilitzar el número que volem convertir (189) com a dividend i el número 2 com a divisor, ja que el número que estem buscant té base 2. Tot seguit agafaríem el resultat d’aquesta primera divisió i el tornaríem a dividir entre 2 (i així successivament amb cada quocient obtingut fins que ja no sigui possible seguir dividint). Un cop acabades les divisions, escriuríem els números corresponents als residus de cada divisió en ordre invers, és a dir, agafant-los des de l’ultima divisió que hem fet fins a la primera. D’aquesta manera obtindrem el número binari equivalent, que recordem que aquesta vegada era el 10111101.